Ta treść została automatycznie przetłumaczona z ukraińskiego.
Aksjoma — to początkowe stwierdzenie, które w ramach danej teorii przyjmuje się bez dowodu. Na aksjomatach, definicjach i zasadach logiki buduje się dalsze rozważania: z nich wyprowadza się twierdzenia, formuły i inne konsekwencje.
Aksjomę często wyjaśnia się jako „oczywistą prawdę, która nie wymaga dowodów”, ale ta definicja nie jest do końca precyzyjna. W nowoczesnej matematyce aksjoma nie musi być oczywista ani opisywać otaczającego świata. Jej rola polega na czymś innym: ustala początkowe zasady konkretnego systemu.
Na przykład, w danym systemie geometrycznym można przyjąć stwierdzenie:
Przez dowolne dwa różne punkty przechodzi jedna i tylko jedna linia prosta.
W ramach takiego systemu tego stwierdzenia się nie dowodzi, lecz wykorzystuje jako podstawę do dowodzenia innych właściwości geometrycznych.
Pochodzenie słowa „aksjoma”
Słowo pochodzi od starogreckiego ἀξίωμα — axíōma, co oznaczało „przyjęte stwierdzenie”, „godne uznania” lub „to, co uważa się za prawidłowe”.
W antycznej matematyce aksjoma nazywała ogólne stwierdzenia, których prawdziwość wydawała się oczywista. Na przykład: jeśli dwie wielkości są równe trzeciej, to są równe sobie nawzajem.
Z czasem znaczenie terminu się zmieniło. Współczesna matematyka nie wymaga, aby aksjoma była intuicyjnie zrozumiała czy bezwarunkowo prawdziwa. Ważniejsze jest, aby była jasno sformułowana i mogła służyć jako podstawa dla spójnej teorii.
Czemu aksjomy nie są dowodzone
Każde dowodzenie matematyczne musi mieć początkowe oparcie. Jeśli każde stwierdzenie dowodzi się za pomocą poprzedniego, a to poprzednie — przez jeszcze inne, łańcuch wyjaśnień nigdy nie będzie miał początku.
Aksjomy zatrzymują to nieskończone cofanie się. Przyjmuje się je jako początkowe stwierdzenia, po czym stosuje się zasady logiki i uzyskuje nowe stwierdzenia.
Schematycznie budowa teorii wygląda tak:
aksjomy i definicje → rozumowania logiczne → twierdzenia → konsekwencje
Zdanie „aksjoma nie wymaga dowodu” działa tylko w ramach wybranego systemu. To samo stwierdzenie może być aksjomą w jednej teorii i być dowodzone jako twierdzenie w innej, szerszej systemie.
Przykłady aksjom
Aksjomy zależą od dziedziny matematyki i od konkretnego systemu, który jest używany.
W geometrii przykładem początkowego stwierdzenia może być stwierdzenie:
Przez dwa różne punkty przechodzi jedna i tylko jedna linia prosta.
W arytmetyce liczb naturalnych stosuje się aksjomaty Peano. Wśród nich jest stwierdzenie, że każda liczba naturalna ma swoją następną liczbę, a różne liczby nie mogą mieć tego samego następcy.
W teorii zbiorów aksjomaty określają, jakie zbiory można tworzyć i jakie operacje z nimi są dozwolone. Na przykład, poszczególne aksjomaty opisują istnienie zbioru pustego, sumę zbiorów lub zbiór wszystkich podzbiorów danego zbioru.
Te przykłady pokazują, że aksjomy nie zawsze przypominają proste prawdy życiowe. Niektóre z nich są intuicyjnie zrozumiałe, a inne mają skomplikowane formalne sformułowanie.
Aksjomy w geometrii Euklidesa
Jedną z najsłynniejszych budowli aksjomatycznych stała się geometria, przedstawiona przez starogreckiego matematyka Euklidesa w dziele „Elementy”. Opierała się na definicjach, ogólnych stwierdzeniach i postulatach, z których konsekwentnie wyprowadzano twierdzenia geometryczne.
Szczególną uwagę przez wieki przyciągał piąty postulat Euklidesa, związany z liniami równoległymi. W nowoczesnym uproszczonym sformułowaniu stwierdza, że przez punkt, który nie leży na danej linii, można poprowadzić tylko jedną linię, równoległą do danej.
Matematycy długo próbowali wyprowadzić to stwierdzenie z innych aksjomatów. Ostatecznie okazało się, że można je zastąpić inną zasadą i tym samym uzyskać logicznie spójną geometrię.
Tak powstały geometrie nieeuklidesowe. W niektórych z nich przez punkt poza linią można poprowadzić kilka linii, które nie przecinają danej. W innych równoległe linie w tradycyjnym rozumieniu w ogóle nie istnieją.
To odkrycie zmieniło wyobrażenie o aksjomatach. Przestały być postrzegane jako jedynie możliwe oczywiste prawdy i zaczęły być traktowane jako zasady, które określają właściwości konkretnego modelu matematycznego.
Czym aksjoma różni się od twierdzenia
Aksjoma jest początkowym stwierdzeniem, a twierdzenie — wynikiem dowodu. Twierdzenie uzyskuje się za pomocą aksjomatów, definicji, zasad logiki i wcześniej udowodnionych stwierdzeń.
Na przykład, w geometrii euklidesowej stwierdzenie „suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180 stopni” jest twierdzeniem. Zależy od przyjętych aksjomatów geometrycznych, w szczególności od zasady o liniach równoległych.
W innych geometriach suma kątów trójkąta może być mniejsza lub większa niż 180 stopni. Zatem wynik zależy od tego, jakie konkretne początkowe stwierdzenia zostały przyjęte.
Aksjoma i postulat: czy jest między nimi różnica
Terminy „aksjoma” i „postulat” często używane są jako synonimy, ale historycznie miały nieco różne znaczenia.
Aksjomy nazywano ogólne stwierdzenia, odpowiednie dla różnych dziedzin wiedzy. Na przykład: jeśli do równych wielkości dodamy równe wielkości, to otrzymane wyniki również będą równe.
Postulaty uznawano za początkowe założenia konkretnej nauki. Stwierdzenie o możliwości poprowadzenia linii przez dwa punkty dotyczy właśnie geometrii, dlatego tradycyjnie mogło być nazywane postulatem.
W nowoczesnej matematyce to rozróżnienie nie zawsze jest zachowywane. Oba słowa mogą oznaczać początkowe stwierdzenie, które przyjmuje się bez dowodu. Jednocześnie termin „postulat” częściej występuje w historycznych opisach geometrii oraz w naukach przyrodniczych.
Jakie powinny być aksjomy
Podczas budowy systemu aksjomatycznego ważne jest, aby jego początkowe stwierdzenia nie były przypadkowym zbiorem stwierdzeń. Matematycy badają kilka podstawowych właściwości takich systemów.
Sprzeczność oznacza, że z aksjomatów nie można jednocześnie wyprowadzić pewnego stwierdzenia i jego zaprzeczenia. Sprzeczny system traci wartość, ponieważ w nim formalnie można dowieść dowolnego wniosku.
Niezależność aksjomatów oznacza, że żadnej z nich nie można dowieść za pomocą pozostałych. Kiedy jedna aksjoma wynika z innych, jest zbędna w początkowym zbiorze.
Pełnia może oznaczać, że dla każdego stwierdzenia danego typu system pozwala ustalić, czy jest prawdziwe, czy fałszywe. Jednak nie wszystkie wystarczająco złożone systemy matematyczne mogą być jednocześnie pełne i sprzeczne.
Sprawdzenie tych właściwości czasami jest trudniejsze niż dowiedzenie poszczególnych twierdzeń w obrębie samego systemu.
Czy aksjoma może być błędna
Mówienie o aksjomie jako „prawidłowej” lub „błędnej” bez sprecyzowania kontekstu nie zawsze jest stosowne. Aksjoma określa zasady systemu, dlatego matematyków przede wszystkim interesuje, do jakich konsekwencji prowadzi i czy nie powstają sprzeczności.
Różne systemy mogą zawierać wzajemnie sprzeczne aksjomaty i pozostawać logicznie spójne. Na przykład geometrie euklidesowa i nieeuklidesowa różnie opisują linie równoległe, ale każda z nich ma swoją własną sferę zastosowania.
Inną kwestią jest, jak dobrze konkretny system opisuje rzeczywisty świat. To już sprawdzają nie tylko rozumowania logiczne, ale także obserwacje, pomiary i praktyczne zastosowanie modelu.
Co oznacza „aksjoma” w codziennym języku
W codziennym języku aksjoma nazywana jest zasadą lub stwierdzeniem, które uważa się za bezsporne i nie wymagające dodatkowych wyjaśnień.
Na przykład:
„Dla niego było aksjomą, że obietnice należy spełniać.”
„Bezpieczeństwo pracowników powinno być aksjomą dla każdej firmy.”
„W tej rodzinie wzajemne wsparcie zawsze uważano za aksjomę.”
W takich zdaniach słowo używane jest przenośnie. Podkreśla pewność mówiącego lub ważność danego zasady, ale nie ma ścisłego matematycznego znaczenia.
Nazwanie myśli aksjomą jeszcze nie oznacza dowiedzenia jej prawdziwości. W publicznych dyskusjach to słowo czasami używane jest jako chwyt retoryczny, aby przedstawić kontrowersyjne stwierdzenie jako oczywiste i bezsporne.
Najczęściej zadawane pytania
Czy aksjoma jest absolutną prawdą?
Niekoniecznie. W nowoczesnej matematyce aksjoma jest początkową zasadą konkretnego systemu. Inny system może opierać się na innym zbiorze aksjomatów.
Czy można dowieść aksjomy?
W ramach teorii, w której stwierdzenie jest aksjomą, nie dowodzi się go. W innej lub szerszej teorii to samo stwierdzenie czasami można uzyskać jako twierdzenie.
Czy można zmienić aksjomy?
Tak. Można zastąpić aksjomy innymi i zbadać, jaką nową system uzyska. W ten sposób powstały geometrie nieeuklidesowe.
Czy wszystkie nauki mają aksjomy?
Wyraźnie sformułowane systemy aksjomatyczne są najbardziej charakterystyczne dla matematyki i logiki formalnej. W innych naukach częściej mówi się o zasadach, prawach, modelach lub początkowych założeniach, które są weryfikowane za pomocą obserwacji i eksperymentów.
