Ta treść została automatycznie przetłumaczona z ukraińskiego.
Aksjoma — to podstawowe stwierdzenie, które w ramach danej teorii przyjmuje się bez dowodu. Na aksjomatach, definicjach i zasadach logiki buduje się dalsze rozważania: z nich wyprowadza się twierdzenia, formuły i inne konsekwencje.
Aksjomę często wyjaśnia się jako „oczywistą prawdę, która nie wymaga dowodu”, ale ta definicja nie jest do końca precyzyjna. W nowoczesnej matematyce aksjoma nie musi być oczywista ani opisywać otaczającego świata. Jej rola polega na czym innym: ustala początkowe zasady konkretnego systemu.
Na przykład, w pewnym systemie geometrycznym można przyjąć stwierdzenie:
Przez dowolne dwa różne punkty przechodzi jedna i tylko jedna prosta.
W ramach takiego systemu tego stwierdzenia nie dowodzi się, lecz wykorzystuje jako podstawę do dowodzenia innych właściwości geometrycznych.
Pochodzenie słowa „aksjoma”
Słowo pochodzi od starogreckiego ἀξίωμα — axíōma, co oznaczało „przyjęte stwierdzenie”, „godne uznania” lub „to, co uważane jest za prawidłowe”.
W antycznej matematyce aksjoma była nazywana ogólnym stwierdzeniem, którego prawdziwość wydawała się oczywista. Na przykład: jeśli dwie wielkości są równe trzeciej, to są równe sobie nawzajem.
Z czasem znaczenie terminu się zmieniło. Nowoczesna matematyka nie wymaga, aby aksjoma była intuicyjnie zrozumiała czy bezwarunkowo prawdziwa. Ważniejsze jest, aby była jasno sformułowana i mogła służyć jako podstawa dla spójnej teorii.
Dlaczego aksjomy nie są dowodzone
Każde matematyczne dowodzenie musi mieć początkowe oparcie. Jeśli każde stwierdzenie dowodzi się za pomocą poprzedniego, a to poprzednie — przez jeszcze inne, łańcuch wyjaśnień nigdy nie będzie miał początku.
Aksjomy zatrzymują to nieskończone cofanie się. Przyjmuje się je jako podstawowe stwierdzenia, po czym stosuje się zasady logiki i uzyskuje nowe twierdzenia.
Schematycznie budowa teorii wygląda tak:
aksjomy i definicje → rozumowania logiczne → twierdzenia → konsekwencje
Zdanie „aksjoma nie wymaga dowodu” działa tylko w ramach wybranego systemu. To samo stwierdzenie może być aksjomą w jednej teorii i być dowodzone jako twierdzenie w innej, szerszej systemie.
Przykłady aksjom
Aksjomy zależą od dziedziny matematyki i od konkretnego systemu, który jest używany.
W geometrii przykładem podstawowego stwierdzenia może być twierdzenie:
Przez dwa różne punkty przechodzi jedna i tylko jedna prosta.
W arytmetyce liczb naturalnych stosuje się aksjomaty Peano. Wśród nich jest stwierdzenie, że każda liczba naturalna ma swoją następną liczbę, a różne liczby nie mogą mieć tego samego następcy.
W teorii zbiorów aksjomaty określają, jakie zbiory można tworzyć i jakie operacje z nimi są dozwolone. Na przykład, niektóre aksjomaty opisują istnienie zbioru pustego, sumę zbiorów lub zbiór wszystkich podzbiorów danego zbioru.
Te przykłady pokazują, że aksjomy nie zawsze przypominają proste prawdy życiowe. Niektóre z nich są intuicyjnie zrozumiałe, a inne mają skomplikowane formalne sformułowania.
Aksjomy w geometrii Euklidesa
Jedną z najsłynniejszych aksjomatycznych budowli stała się geometria, przedstawiona przez starogreckiego matematyka Euklidesa w dziele „Elementy”. Opierała się na definicjach, ogólnych stwierdzeniach i postulatach, z których konsekwentnie wyprowadzano twierdzenia geometryczne.
Szczególną uwagę przez wieki przyciągał piąty postulat Euklidesa, związany z prostymi równoległymi. W nowoczesnym uproszczonym sformułowaniu stwierdza, że przez punkt, który nie leży na danej prostej, można poprowadzić tylko jedną prostą, równoległą do danej.
Matematycy długo starali się wyprowadzić to stwierdzenie z innych aksjomatów. Ostatecznie okazało się, że można je zastąpić inną zasadą i w ten sposób uzyskać logicznie spójną geometrię.
Tak powstały geometrie nieeuklidesowe. W niektórych z nich przez punkt leżący poza prostą można poprowadzić kilka prostych, które nie przecinają danej. W innych pojęcie prostych równoległych w tradycyjnym rozumieniu w ogóle nie istnieje.
To odkrycie zmieniło wyobrażenie o aksjomatach. Przestały być postrzegane jako jedynie możliwe oczywiste prawdy i zaczęły być traktowane jako zasady, które określają właściwości konkretnego modelu matematycznego.
Czym różni się aksjoma od twierdzenia
Aksjoma jest podstawowym stwierdzeniem, a twierdzenie — wynikiem dowodu. Twierdzenie uzyskuje się za pomocą aksjomatów, definicji, zasad logiki oraz wcześniej udowodnionych stwierdzeń.
Na przykład, w geometrii euklidesowej stwierdzenie „suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180 stopni” jest twierdzeniem. Zależy od przyjętych aksjomatów geometrycznych, w szczególności od zasady dotyczącej prostych równoległych.
W innych geometriach suma kątów trójkąta może być mniejsza lub większa niż 180 stopni. Zatem wynik zależy od tego, jakie dokładnie podstawowe stwierdzenia zostały przyjęte.
Aksjoma i postulat: czy jest między nimi różnica
Terminy „aksjoma” i „postulat” często używane są jako synonimy, ale historycznie miały nieco różne znaczenia.
Aksjomy nazywano ogólnymi stwierdzeniami, które były odpowiednie dla różnych dziedzin wiedzy. Na przykład: jeśli do równych wielkości dodamy równe wielkości, otrzymane wyniki również będą równe.
Postulaty uważano za podstawowe założenia konkretnej nauki. Stwierdzenie o możliwości poprowadzenia prostej przez dwa punkty dotyczy właśnie geometrii, dlatego tradycyjnie mogło być nazywane postulatem.
W nowoczesnej matematyce to rozróżnienie nie zawsze jest zachowywane. Oba słowa mogą oznaczać podstawowe stwierdzenie, które przyjmuje się bez dowodu. Jednocześnie termin „postulat” częściej występuje w historycznych opisach geometrii oraz w naukach przyrodniczych.
Jakie powinny być aksjomy
Podczas budowy systemu aksjomatycznego ważne jest, aby jego podstawowe stwierdzenia nie były przypadkowym zbiorem twierdzeń. Matematycy badają kilka podstawowych właściwości takich systemów.
Sprzeczność oznacza, że z aksjomatów nie można jednocześnie wyprowadzić pewnego stwierdzenia i jego zaprzeczenia. Sprzeczny system traci wartość, ponieważ w nim formalnie można dowieść dowolnego wniosku.
Niezależność aksjomatów oznacza, że żadnej z nich nie można dowieść za pomocą pozostałych. Kiedy jedna aksjoma wynika z innych, jest zbędna w początkowym zbiorze.
Pełnia może oznaczać, że dla każdego stwierdzenia danego typu system pozwala ustalić, czy jest ono prawdziwe, czy fałszywe. Jednak nie wszystkie wystarczająco złożone systemy matematyczne mogą być jednocześnie pełne i sprzeczne.
Sprawdzenie tych właściwości czasami jest trudniejsze niż udowodnienie poszczególnych twierdzeń w ramach samego systemu.
Czy aksjoma może być błędna
Mówienie o aksjomie jako „prawidłowej” lub „błędnej” bez określenia kontekstu nie zawsze jest stosowne. Aksjoma określa zasady systemu, dlatego matematyków przede wszystkim interesuje, do jakich konsekwencji prowadzi i czy nie powstają sprzeczności.
Różne systemy mogą zawierać wzajemnie sprzeczne aksjomaty i pozostawać logicznie spójne. Na przykład geometria euklidesowa i nieeuklidesowe różnie opisują proste równoległe, ale każda z nich ma swoją własną dziedzinę zastosowania.
Inną kwestią jest, jak dobrze konkretna system opisuje rzeczywisty świat. To już sprawdzają nie tylko rozumowania logiczne, ale także obserwacje, pomiary i praktyczne zastosowanie modelu.
Co oznacza „aksjoma” w codziennym języku
W codziennym języku aksjoma nazywana jest zasadą lub stwierdzeniem, które uważane jest za bezsporne i nie wymagające dodatkowych wyjaśnień.
Na przykład:
„Dla niego było aksjomą, że obietnice należy spełniać.”
„Bezpieczeństwo pracowników powinno być aksjomą dla każdej firmy.”
„W tej rodzinie wzajemne wsparcie zawsze uważano za aksjomę.”
W takich zdaniach słowo używane jest przenośnie. Podkreśla pewność mówiącego lub ważność danego zasady, ale nie ma ścisłego matematycznego znaczenia.
Nazwanie myśli aksjomą jeszcze nie oznacza dowodu jej prawdziwości. W publicznych dyskusjach to słowo czasami używane jest jako chwyt retoryczny, aby przedstawić kontrowersyjne stwierdzenie jako oczywiste i bezsporne.
Najczęściej zadawane pytania
Czy aksjoma jest absolutną prawdą?
Niekoniecznie. W nowoczesnej matematyce aksjoma jest podstawową zasadą konkretnego systemu. Inny system może opierać się na innym zbiorze aksjomatów.
Czy można dowieść aksjomy?
W ramach teorii, w której stwierdzenie jest aksjomą, nie dowodzi się go. W innej lub szerszej teorii to samo stwierdzenie czasami można uzyskać jako twierdzenie.
Czy można zmienić aksjomę?
Tak. Można zastąpić aksjoma inną i zbadać, jaką system stanie się nowy. W ten sposób powstały geometrie nieeuklidesowe.
Czy wszystkie nauki mają aksjomaty?
Wyraźnie sformułowane systemy aksjomatyczne są najbardziej charakterystyczne dla matematyki i logiki formalnej. W innych naukach częściej mówi się o zasadach, prawach, modelach lub podstawowych założeniach, które są weryfikowane za pomocą obserwacji i eksperymentów.
