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Axiom — ist eine grundlegende Aussage, die innerhalb einer bestimmten Theorie ohne Beweis akzeptiert wird. Auf Axiomen, Definitionen und Regeln der Logik basieren weitere Überlegungen: daraus werden Theoreme, Formeln und andere Folgerungen abgeleitet.
Eine Axiom wird oft als „offensichtliche Wahrheit, die keinen Beweis benötigt“ erklärt, aber diese Definition ist nicht ganz genau. In der modernen Mathematik muss ein Axiom nicht unbedingt offensichtlich sein oder die Umwelt beschreiben. Ihre Rolle liegt woanders: Sie legt die Anfangsregeln eines bestimmten Systems fest.
Zum Beispiel kann in einem bestimmten geometrischen System die Aussage angenommen werden:
Durch zwei verschiedene Punkte verläuft genau eine Gerade.
Innerhalb eines solchen Systems wird diese Aussage nicht bewiesen, sondern als Grundlage für den Beweis anderer geometrischer Eigenschaften verwendet.
Herkunft des Wortes „Axiom“
Das Wort stammt aus dem Altgriechischen ἀξίωμα — axíōma, was „angenommene Aussage“, „würdige Anerkennung“ oder „das, was als richtig angesehen wird“ bedeutete.
In der antiken Mathematik wurden Axiome als allgemeine Aussagen bezeichnet, deren Wahrheitsgehalt offensichtlich schien. Zum Beispiel: Wenn zwei Größen gleich einer dritten sind, dann sind sie gleich einander.
Im Laufe der Zeit hat sich die Bedeutung des Begriffs geändert. Die moderne Mathematik verlangt nicht, dass ein Axiom intuitiv verständlich oder bedingungslos wahr ist. Wichtiger ist, dass es klar formuliert ist und als Grundlage für eine konsistente Theorie dienen kann.
Warum Axiome nicht bewiesen werden
Jeder mathematische Beweis muss eine Anfangsgrundlage haben. Wenn jede Aussage durch die vorherige bewiesen wird und die vorherige durch eine weitere, wird die Kette der Erklärungen niemals einen Anfang haben.
Axiome stoppen diese unendliche Rückkehr. Sie werden als Ausgangspositionen akzeptiert, wonach die Regeln der Logik angewendet werden und neue Aussagen entstehen.
Schematisch sieht der Aufbau einer Theorie so aus:
Axiome und Definitionen → logische Überlegungen → Theoreme → Folgerungen
Der Satz „Ein Axiom benötigt keinen Beweis“ gilt nur innerhalb des gewählten Systems. Dieselbe Aussage kann in einer Theorie ein Axiom sein und in einer anderen, umfassenderen Theorie als Theorem bewiesen werden.
Beispiele für Axiome
Axiome hängen vom Bereich der Mathematik und vom spezifischen System ab, das verwendet wird.
In der Geometrie kann ein Beispiel für eine Ausgangsposition die Aussage sein:
Durch zwei verschiedene Punkte verläuft genau eine Gerade.
In der Arithmetik der natürlichen Zahlen werden die Peano-Axiome verwendet. Unter ihnen gibt es die Aussage, dass jede natürliche Zahl eine Nachfolgerzahl hat und verschiedene Zahlen nicht denselben Nachfolger haben können.
In der Mengenlehre definieren Axiome, welche Mengen gebildet werden können und welche Operationen mit ihnen zulässig sind. Zum Beispiel beschreiben bestimmte Axiome die Existenz einer leeren Menge, die Vereinigung von Mengen oder die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Menge.
Diese Beispiele zeigen, dass Axiome nicht immer wie einfache Lebenswahrheiten erscheinen. Einige von ihnen sind intuitiv verständlich, während andere eine komplexe formale Formulierung haben.
Axiome in der euklidischen Geometrie
Eines der bekanntesten axiomatischen Systeme ist die Geometrie, die der antike griechische Mathematiker Euklid in seinem Werk „Elemente“ darlegte. Sie basierte auf Definitionen, allgemeinen Aussagen und Postulaten, aus denen die geometrischen Theoreme schrittweise abgeleitet wurden.
Besondere Aufmerksamkeit erhielt über die Jahrhunderte das fünfte Postulat Euklids, das mit parallelen Linien verbunden ist. In einer modernen vereinfachten Formulierung besagt es, dass durch einen Punkt, der nicht auf einer gegebenen Linie liegt, genau eine Linie gezogen werden kann, die parallel zur gegebenen ist.
Mathematiker versuchten lange, diese Aussage aus anderen Axiomen abzuleiten. Schließlich stellte sich heraus, dass sie durch eine andere Regel ersetzt werden kann und dabei eine logisch konsistente Geometrie erhalten bleibt.
So entstanden nicht-euklidische Geometrien. In einigen von ihnen kann durch einen Punkt außerhalb einer Linie mehrere Linien gezogen werden, die die gegebene nicht schneiden. In anderen gibt es im gewohnten Sinne überhaupt keine parallelen Linien.
Diese Entdeckung veränderte das Verständnis von Axiomen. Sie wurden nicht mehr als einzig mögliche offensichtliche Wahrheiten angesehen, sondern als Regeln, die die Eigenschaften eines bestimmten mathematischen Modells definieren.
Was unterscheidet ein Axiom von einem Theorem
Ein Axiom ist eine Ausgangsposition, während ein Theorem das Ergebnis eines Beweises ist. Ein Theorem wird mithilfe von Axiomen, Definitionen, Regeln der Logik und zuvor bewiesenen Aussagen abgeleitet.
Zum Beispiel ist in der euklidischen Geometrie die Aussage ein Theorem. Es hängt von den akzeptierten geometrischen Axiomen ab, insbesondere von der Regel über parallele Linien.
In anderen Geometrien kann die Summe der Winkel eines Dreiecks kleiner oder größer als 180 Grad sein. Daher hängt das Ergebnis davon ab, welche Ausgangspositionen akzeptiert wurden.
Axiom und Postulat: Gibt es einen Unterschied zwischen ihnen?
Die Begriffe und werden oft als Synonyme verwendet, hatten aber historisch gesehen etwas unterschiedliche Bedeutungen.
Axiome wurden als allgemeine Aussagen bezeichnet, die für verschiedene Wissensgebiete geeignet sind. Zum Beispiel: Wenn zu gleichen Größen gleiche Größen addiert werden, sind die erhaltenen Ergebnisse ebenfalls gleich.
Postulate wurden als Ausgangsannahmen einer bestimmten Wissenschaft betrachtet. Die Aussage, dass man eine Linie durch zwei Punkte ziehen kann, betrifft speziell die Geometrie, weshalb sie traditionell als Postulat bezeichnet werden konnte.
In der modernen Mathematik wird diese Unterscheidung nicht immer beibehalten. Beide Wörter können eine Ausgangsposition bezeichnen, die ohne Beweis akzeptiert wird. Gleichzeitig tritt der Begriff häufiger in historischen Beschreibungen der Geometrie und in den Naturwissenschaften auf.
Wie sollten Axiome beschaffen sein
Beim Aufbau eines axiomatischen Systems ist es wichtig, dass seine Ausgangspositionen kein willkürliches Set von Aussagen sind. Mathematiker untersuchen mehrere grundlegende Eigenschaften solcher Systeme.
Widerspruchsfreiheit bedeutet, dass aus den Axiomen nicht gleichzeitig eine bestimmte Aussage und deren Negation abgeleitet werden können. Ein widersprüchliches System verliert an Wert, da darin formal jede Schlussfolgerung bewiesen werden kann.
Unabhängigkeit der Axiome bedeutet, dass keines von ihnen durch die anderen bewiesen werden kann. Wenn ein Axiom aus anderen abgeleitet werden kann, ist es im ursprünglichen Set überflüssig.
Vollständigkeit kann bedeuten, dass für jede Aussage eines bestimmten Typs das System es ermöglicht festzustellen, ob sie wahr oder falsch ist. Allerdings können nicht alle ausreichend komplexen mathematischen Systeme sowohl vollständig als auch widerspruchsfrei sein.
Diese Eigenschaften zu überprüfen ist manchmal schwieriger, als einzelne Theoreme innerhalb des Systems zu beweisen.
Kann ein Axiom falsch sein?
Es ist nicht immer angemessen, von einem Axiom als „richtig“ oder „falsch“ zu sprechen, ohne den Kontext zu präzisieren. Ein Axiom definiert die Regeln des Systems, daher interessiert Mathematiker in erster Linie, zu welchen Folgerungen es führt und ob Widersprüche auftreten.
Verschiedene Systeme können inkompatible Axiome enthalten und dennoch logisch konsistent bleiben. Zum Beispiel beschreiben die euklidische und die nicht-euklidische Geometrie parallele Linien unterschiedlich, aber jede hat ihren eigenen Anwendungsbereich.
Eine andere Frage ist, wie gut ein bestimmtes System die reale Welt beschreibt. Dies wird nicht nur durch logische Überlegungen, sondern auch durch Beobachtungen, Messungen und praktische Anwendungen des Modells überprüft.
Was bedeutet „Axiom“ in der Alltagssprache?
Im alltäglichen Sprachgebrauch wird ein Axiom als Regel oder Aussage bezeichnet, die als unbestreitbar und ohne zusätzliche Erklärungen angesehen wird.
Zum Beispiel:
„Für ihn war es ein Axiom, dass Versprechen gehalten werden müssen.“.
„Die Sicherheit der Mitarbeiter sollte ein Axiom für jedes Unternehmen sein.“.
„In dieser Familie wurde gegenseitige Unterstützung immer als Axiom angesehen.“.
In solchen Sätzen wird das Wort metaphorisch verwendet. Es unterstreicht das Vertrauen des Sprechers oder die Bedeutung eines bestimmten Prinzips, hat jedoch keine strenge mathematische Bedeutung.
Eine Meinung als Axiom zu bezeichnen, bedeutet noch nicht, ihre Wahrheit zu beweisen. In öffentlichen Diskussionen wird dieses Wort manchmal als rhetorisches Mittel verwendet, um eine umstrittene Aussage als offensichtlich und unbestreitbar darzustellen.
Häufig gestellte Fragen
Ist ein Axiom eine absolute Wahrheit?
Nicht unbedingt. In der modernen Mathematik ist ein Axiom eine Ausgangsregel eines bestimmten Systems. Ein anderes System kann auf einem anderen Satz von Axiomen basieren.
Kann man ein Axiom beweisen?
Innerhalb der Theorie, in der die Aussage ein Axiom ist, wird sie nicht bewiesen. In einer anderen oder umfassenderen Theorie kann dieselbe Aussage manchmal als Theorem abgeleitet werden.
Kann man ein Axiom ändern?
Ja. Man kann ein Axiom durch ein anderes ersetzen und untersuchen, wie das neue System aussieht. So wurden nicht-euklidische Geometrien geschaffen.
Haben alle Wissenschaften Axiome?
Deutlich formulierte axiomatische Systeme sind am charakteristischsten für Mathematik und formale Logik. In anderen Wissenschaften spricht man häufiger von Prinzipien, Gesetzen, Modellen oder Ausgangsannahmen, die durch Beobachtungen und Experimente überprüft werden.
