Аксіома — це вихідне твердження, яке в межах певної теорії приймають без доведення. На аксіомах, визначеннях і правилах логіки будують подальші міркування: з них виводять теореми, формули та інші наслідки.
Аксіому часто пояснюють як «очевидну істину, що не потребує доказів», але це визначення не зовсім точне. У сучасній математиці аксіома не обов’язково має бути очевидною або описувати навколишній світ. Її роль полягає в іншому: вона задає початкові правила конкретної системи.
Наприклад, у певній геометричній системі можна прийняти положення:
Через будь-які дві різні точки проходить одна й лише одна пряма.
У межах такої системи це твердження не доводять, а використовують як основу для доведення інших геометричних властивостей.
Походження слова «аксіома»
Слово походить від давньогрецького ἀξίωμα — axíōma, що означало «прийняте положення», «гідне визнання» або «те, що вважають правильним».
В античній математиці аксіомами називали загальні твердження, істинність яких здавалася очевидною. Наприклад: якщо дві величини дорівнюють третій, то вони дорівнюють одна одній.
Згодом значення терміна змінилося. Сучасна математика не вимагає, щоб аксіома була інтуїтивно зрозумілою чи безумовно істинною. Важливіше, щоб вона була чітко сформульована та могла слугувати основою для послідовної теорії.
Чому аксіоми не доводять
Будь-яке математичне доведення повинно мати початкову опору. Якщо кожне твердження доводити за допомогою попереднього, а попереднє — через ще одне, ланцюг пояснень ніколи не матиме початку.
Аксіоми зупиняють це нескінченне повернення назад. Їх приймають як вихідні положення, після чого застосовують правила логіки та отримують нові твердження.
Схематично побудова теорії виглядає так:
аксіоми й визначення → логічні міркування → теореми → наслідки
Фраза «аксіома не потребує доведення» діє лише в межах обраної системи. Те саме твердження може бути аксіомою в одній теорії та доводитися як теорема в іншій, ширшій системі.
Приклади аксіом
Аксіоми залежать від галузі математики та від конкретної системи, яку використовують.
У геометрії прикладом вихідного положення може бути твердження:
Через дві різні точки проходить одна й лише одна пряма.
В арифметиці натуральних чисел використовують аксіоми Пеано. Серед них є положення про те, що кожне натуральне число має наступне число, а різні числа не можуть мати одного й того самого наступника.
У теорії множин аксіоми визначають, які множини можна утворювати та які операції з ними допустимі. Наприклад, окремі аксіоми описують існування порожньої множини, об’єднання множин або множини всіх підмножин заданої множини.
Ці приклади показують, що аксіоми не завжди схожі на прості життєві істини. Деякі з них зрозумілі інтуїтивно, а інші мають складне формальне формулювання.
Аксіоми в геометрії Евкліда
Однією з найвідоміших аксіоматичних побудов стала геометрія, викладена давньогрецьким математиком Евклідом у праці «Начала». Вона спиралася на визначення, загальні положення та постулати, з яких послідовно виводилися геометричні теореми.
Особливу увагу протягом століть привертав п’ятий постулат Евкліда, пов’язаний із паралельними прямими. У сучасному спрощеному формулюванні він стверджує, що через точку, яка не лежить на заданій прямій, можна провести лише одну пряму, паралельну заданій.
Математики довго намагалися вивести це положення з інших аксіом. Зрештою з’ясувалося, що його можна замінити іншим правилом і при цьому отримати логічно послідовну геометрію.
Так виникли неевклідові геометрії. В одних із них через точку поза прямою можна провести кілька прямих, які не перетинають задану. В інших паралельних прямих у звичному розумінні взагалі немає.
Це відкриття змінило уявлення про аксіоми. Вони перестали сприйматися як єдино можливі очевидні істини й почали розглядатися як правила, що визначають властивості певної математичної моделі.
Чим аксіома відрізняється від теореми
Аксіома є початковим положенням, а теорема — результатом доведення. Теорему отримують за допомогою аксіом, визначень, правил логіки та раніше доведених тверджень.
Наприклад, у евклідовій геометрії твердження «сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180 градусам» є теоремою. Воно залежить від прийнятих геометричних аксіом, зокрема від правила про паралельні прямі.
В інших геометріях сума кутів трикутника може бути меншою або більшою за 180 градусів. Отже, результат залежить від того, які саме вихідні положення було прийнято.
Аксіома і постулат: чи є між ними різниця
Терміни «аксіома» і «постулат» часто використовують як синоніми, але історично вони мали дещо різні значення.
Аксіомами називали загальні положення, придатні для різних галузей знань. Наприклад: якщо до рівних величин додати рівні величини, отримані результати також будуть рівними.
Постулатами вважали вихідні припущення конкретної науки. Твердження про можливість провести пряму через дві точки стосується саме геометрії, тому традиційно його могли називати постулатом.
У сучасній математиці це розмежування не завжди зберігають. Обидва слова можуть позначати вихідне положення, яке приймають без доведення. Водночас термін «постулат» частіше трапляється в історичних описах геометрії та в природничих науках.
Якими мають бути аксіоми
Під час побудови аксіоматичної системи важливо, щоб її вихідні положення не були випадковим набором тверджень. Математики досліджують кілька основних властивостей таких систем.
Несуперечність означає, що з аксіом не можна одночасно вивести певне твердження та його заперечення. Суперечлива система втрачає цінність, оскільки в ній формально можна довести будь-який висновок.
Незалежність аксіом означає, що жодну з них не можна довести за допомогою решти. Коли одна аксіома випливає з інших, вона є зайвою в початковому наборі.
Повнота може означати, що для кожного твердження певного типу система дає змогу встановити, істинне воно чи хибне. Однак не всі достатньо складні математичні системи можуть бути повними й водночас несуперечливими.
Перевірити ці властивості іноді складніше, ніж довести окремі теореми всередині самої системи.
Чи може аксіома бути неправильною
Говорити про аксіому як про «правильну» або «неправильну» без уточнення контексту не завжди доречно. Аксіома визначає правила системи, тому математиків передусім цікавить, до яких наслідків вона приводить і чи не виникають суперечності.
Різні системи можуть містити несумісні між собою аксіоми й залишатися логічно послідовними. Наприклад, евклідова та неевклідові геометрії по-різному описують паралельні прямі, але кожна з них має власну сферу застосування.
Інше питання — наскільки добре конкретна система описує реальний світ. Це вже перевіряють не лише логічними міркуваннями, а й спостереженнями, вимірюваннями та практичним застосуванням моделі.
Що означає «аксіома» у звичайній мові
У повсякденному мовленні аксіомою називають правило або твердження, яке вважають беззаперечним і таким, що не потребує додаткових пояснень.
Наприклад:
«Для нього було аксіомою, що обіцянки потрібно виконувати».
«Безпека працівників має бути аксіомою для будь-якого підприємства».
«У цій родині взаємна підтримка завжди вважалася аксіомою».
У таких реченнях слово використовується переносно. Воно підкреслює впевненість мовця або важливість певного принципу, але не має строгого математичного значення.
Назвати думку аксіомою ще не означає довести її істинність. У публічних дискусіях це слово іноді використовують як риторичний прийом, щоб подати спірне твердження як очевидне й беззаперечне.
Поширені запитання
Чи є аксіома абсолютною істиною?
Не обов’язково. У сучасній математиці аксіома є вихідним правилом конкретної системи. Інша система може спиратися на інший набір аксіом.
Чи можна довести аксіому?
У межах теорії, де твердження є аксіомою, його не доводять. В іншій або ширшій теорії те саме положення іноді можна отримати як теорему.
Чи можна змінити аксіому?
Так. Можна замінити аксіому іншою та дослідити, якою стане нова система. Саме так були створені неевклідові геометрії.
Чи всі науки мають аксіоми?
Чітко сформульовані аксіоматичні системи найбільш характерні для математики та формальної логіки. В інших науках частіше говорять про принципи, закони, моделі або вихідні припущення, які перевіряють за допомогою спостережень і експериментів.
